Boolsche Algebra


Die boolsche Algebra wurde von dem englischen Mathematiker Boole (1815-1864) entwickelt. Sie ist eigentlich eine Mengenlehre. Eine Spezialform der Boolschen Algebra ist die Schaltungsalgebra. In ihr gibt es Variablen und nur zwei Konstanten nämlich 0 und 1. Variablen können jeden beliebigen Wert annehmen, also 0 oder 1. Diese zwei Zustände können in der Schaltalgebra folgendermaßen dargestellt werden:

Schaltungsalgebra - Variablen und Konstante

Grundgleichungen der Schaltalgebra

Die Grundgleichungen der Schaltalgebra (auch als Postulate bezeichnet) sind für das spätere Rechnen wichtig. Die unten angeführten Formeln lassen sich einfach durch Wahrheitstabellen und logisches Denken kontrollieren.



Theoreme

Definition: Theoreme sind Rechenregeln für Verknüpfungen von Variblen und Konstanten oder ihrer Negation.

Wie die Grundgleichungen lassen sie sich aus Wahrheitstabellen ermitteln. Der Unterschied zu den Grundgleichungen, ist daß sie für Variablen verknüpft mit Konstanten gelten:

Theoreme der boolschen Schaltalgebra


Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)



Das Kommutativgesetz sagt aus, daß die Reihenfolge der Variablen eines Thermes egal ist, ohne daß das Ergebnis beeinflußt wird:

Vertauschungsgesetz - Kommutatitivgesetz


Assoziativgesetz (Verbindungs- / Verknüpungs-Gesetz)



Die Reihenfolge der Zuordnungen der Variablen ist beliebig, ohne daß das Ergebnis beeiflußt wird:

Assoziativgesetz in Schaltungsform


Formel des Assoziativgesetz / Verknüpfungsgesetz


Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)



Das Distributivgesetz oder auch Verteilungsgesetz genannt enspricht dem Ausmultipliziern oder Nichtausmultipliziern von Klammern. Es ist für die Schaltungssynthese von großer Bedeutung.
Des weiteren wird es in das
  • konjuktive Distributivgesetz
  • disjunktives Distributivgesetz
  • ... unterteilt.

    Formeln
    Konjunktives Distributivgesetz
    Disjunktives Distributivgesetz
    Formeln des Konjunktives Distributivgesetz Formeln des disjunktiven Distributivgesetzes
    Vergleiche
    Konjunktives Distributivgesetz
    Disjunktives Distributivgesetz
    Vergleich des Konjunktiven Distributivgesetzes
    Vergleich des Disjunktiven Distributivgesetzes

    Beispiel:

    Beispiel zum Distributivgesetz und den Theoremen

    Morgansche Regeln

    Der englische Mathematiker Moragan (1806-1871) erweiterte die Boolsche Algebra mit den Moraganschen Regeln, die im prinzip mit Verneinungen handieren. Die Morganschen Regeln werden vorallem dann wichtig, wenn es zur Umwandlung von NAND in NOR und umgekehrt geht.
    Es gibt zwei Morgansche Regeln/Gesetze:

    1. Morgansche Gesetz:

    1. Morgansches Gesetz


    2. Morgansche Gesetz

    2. Morgnasche Gesetz


    Beispiel:
    Beispiel zu den Morganschen Gesetzen


    Allgemeines

    Es ist wichtig die Grundgleichungen, sowie die Morganschen Regeln und die Grund-Theorme zu können, da man sonst eventuell Vereinfachungsmöglichkeiten garnicht erkennt.
    Durch die boolsche Schaltalgebra ist es weiters möglich, jede Schaltung in Form von NOR- oder NAND-Gliedern auszudrücken:

    Beweis dass alles ist in NOR ausdrueckbar ist

    ... dasselbe kann man mit NAND-Gliedern machen.


    Alle Schaltungen lassen sich mit NOR- oder NAND-Glieder ausdrücken.

    Transformationen

    Mittels der Doppeltransformation
    Doppeltransformation

    ... kann man aus disjunktiv verschalteten Schaltungen, konjuktiv verschaltete Schaltungen erzeugen.

    Beispiel:
    Umwandlung von NOR in NAND

    Natürlich funktioniert es auch in die andere Richtung, also von NAND in NOR.